隨機變量模型和隨機過程模型是研究應力腐蝕概率的常用模型，本章重點介紹隨機變量模型。

一、應力-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提出了采用應力、強度分布函數曲線的干涉區面積分析失效概率的方法，即應力－強度干涉模型，該模型在構件和系統的可靠性分析中得到了廣泛應用。目前，已成為分析構件和系統失效概率的重要模型之一。在結構可靠性分析中，應力－強度（S-R)干涉模型應用最廣，模型中的S和R的含義不僅僅是力學分析中的應力和強度，二者具有更廣泛的范疇。對于一個系統而言，S指的是造成結構破壞的所有因素，即推動力；R代表了結構抵抗破壞的能力，即阻抗力。

  應力腐蝕斷裂是一種低應力脆斷，是斷裂和腐蝕兩種機理相互影響的結果。因此，當應力還遠低于斷裂應力時就能引起應力腐蝕裂紋的產生和擴展。應力作用降低了材料的耐腐蝕性能，而腐蝕降低了材料的斷裂強度，兩者是互相促進的。也就是說，機械力和化學力的協同作用導致了裂紋的擴展，如果只有應力或腐蝕單獨作用，是不會出現應力腐蝕斷裂的結果。應力腐蝕斷裂要經過一定的時間才能發生，這是因為能量積蓄到使材料破壞的程度是需要時間的，應力腐蝕是使材料強度逐漸退化的過程，因此，我們可以采用耐久性損傷模型來描述應力腐蝕失效的物理過程。由S-R干涉模型的理論可以寫出結構的極限狀態方程

  因此，對于失效概率的研究就轉化為對強度和應力由于概率分布干涉引起的狀態失效問題的研究。當fs(s)和fR(r)分別表示應力和強度的概率密度函數時，圖中兩者重疊部分面積反映了失效概率的大小，如圖6-1所示。

  假如最初應力與強度是留有充分的安全余量的，那么經過一定時間后，隨著應力分布與強度分布的交疊，就有失效發生，這種情形可以說是耐久模型的典型例子。根據應力－強度干涉模型不但能夠求解應力腐蝕失效概率，還可以分析應力腐蝕不同階段的概率情況，如裂紋的萌生概率、裂紋的擴展概率等。

  當材料發生腐蝕后，隨著時間的推移，材料抵抗破壞的能力降低，而腐蝕環境很可能變得更加苛刻。例如應力腐蝕，隨著裂紋的擴展，材料強度降低、裂紋尖端應力集中區域增大，局部存在侵蝕性離子的富集，使得廣義應力變大而強度降低，此時S(t)和R(t)都是與時間有關的變量，很顯然，概率密度函數也著時間的變化而變化。當強度隨時間發生衰退時，強度和應力組成的干涉區域隨時間變化會越來越大，這意味著產品可靠性在降低。

  大多數參數的不確定性與時間有關。發生應力腐蝕時，構件所受的廣義應力一般是隨機過程，應力稱為時間的函數，強度為一固定的臨界值，如圖6-2所示，功能函數應表示為

二、應力腐蝕參數的概率分布估計

1. 變量分布類型確定

  采用S-R模型分析應力腐蝕失效概率時，第一步是確定應力腐蝕的“推動力”，即S所包含的參數，包括溫度、侵蝕性離子濃度、pH值等，分析各參數的分布概型。在進行參數的概率分布類型研究中，一般經過以下步驟：①. 假設隨機變量服從某一分布；②. 在假設分布基礎上構建統計量；③. 根據統計量的分布做出統計推斷，進行擬合檢驗；④. 選擇最優概型。常用的統計量包括均值、標準差、極差、變異系數、偏度等。正態分布、威布爾（Weibull)分布、指數分布以及Poisson分布等都是應力腐蝕概率分析中經常用到的隨機變量的概率分布類型。

通常，直接計算概率的密度函數難度非常大，常用的處理方法是把概率密度估計轉化為參數估計問題。因此概率密度函數的確定是關鍵，正確的密度函數是獲得準確估計值的重要前提。

2. 參數的估計和假設檢驗

由于正態分布情況發生的比較多，因此，以正態分布為例加以說明。參數估計的思路是采用樣本統計量估計總體參數。常用的參數估計方法有矩估計法和最大（極大）似然法，除此之外，還有最小二乘、貝葉斯估計等方法。矩估計法不受變量分布的影響，這也恰恰成為該方法的缺點，即變量的分布信息不能被充分利用，一般具有多個分析結果。與矩估計法相反，最大似然法的使用受已知變量概型的影響，必須在已知概型的前提下才能使用，而且假設的概率模型正確性對參數估計結果影響很大。最大似然估計法具有計算簡單、收斂型好等特點，在參數估計中的應用更加廣泛，其主要計算步驟如下：

  式（6-10)稱為似然方程組，求解該方程組，得出均值、方差最大似然估計值

  以上過程是參數估計，下面對參數假設檢驗。與參數估計的目的相同，參數假設檢驗也是根據樣本信息對總體的數量特征進行推斷。

  假設檢驗是以樣本資料對總體的先驗假設是否成立，根據樣本的統計量檢驗假設的總體參數的可靠度，同時做出判斷結果，判斷結果包括接受和拒絕。分析過程是：①. 提出原假設（要求檢驗的假設）H0 :F(x)=F0(x)和備選假設（如果原假設不成立，就要接受另一個假設）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的檢驗統計量；③. 計算觀測值；④. 確定顯著性水平；⑤. 依據檢驗統計量觀測值的位置給出判斷結果。

在以上分析過程中，可能會犯兩類錯誤：當H0為真時而拒絕H0,稱為第一類錯誤；當H0為假時而接受H0,稱為第二類錯誤。犯兩類錯誤的概率通常是矛盾的：一個概率小了另一個概率就大。在實際使用中，我們一般限定犯第一類錯誤的概率不超過給定的α,使犯第二類錯誤的概率就可能小。在正態總體參數的假設檢驗中，主要包括均值的U檢驗和t檢驗、方差的χ2檢驗等。

3. 分布的假設檢驗

  上一小節介紹的是在總體分布已知的情況下，對分布中的一些未知參數進行檢驗。但是，很多時候并不知道總體的分布規律，我們往往是根據樣本來假設總體的分布類型，因此，對于總體樣本所假設的分布是否正確，還需要檢驗，常用的有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗方法，其中χ2檢驗應用較多，下面以這種方法為例，介紹檢驗過程。

  χ2檢驗法的分析過程是：①. 提出原假設；②. 檢驗假設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個互不相交的小區間把樣本數據進行分組，通常每個區間的數據不少于5個，若不滿足這一要求，可以通過合并區間來達到這一要求。假設H0成立，根據分組結果計算χ2檢驗統計量

4. 主要參數的概率分布

 根據以上分析步驟，對應力腐蝕環境中的離子濃度的統計性進行分析。數據來自某石化企業的監測數據。頻率直方圖要將樣本值分為r個不相交的區間，r值可由 Sturges公式確定，并取整數。r值取決于樣本數n。

  首先，假設各參數服從正態分布，并畫出正態分布的密度函數曲線，該計算采用matlab編程完成，計算結果如圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離子濃度和硫酸根離子濃度滿足正態分布，而亞硫酸根離子濃度不滿足正態分布，經過分析，認為滿足威布爾分布，如圖6-4所示。

  經過卡方檢驗，在顯著性水平0.05下，可以認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布爾分布。

  亞硫酸根離子濃度服從威布爾分布的原因：亞硫酸根不穩定，與氫離子反應，從而濃度逐漸減小。

三、失效概率計算方法

1. 解析法

  當應力和強度是比較簡單的變量時，式（6-4)可以直接計算失效概率。在一些研究中，會出現“干涉面積＝失效概率”的說法，這種說法是不正確的。根據可靠性理論可知，應力－強度模型中強度大于應力的概率即為可靠度。可靠度P可根據下式計算

  從計算結果可以看出，失效概率遠小于干涉面積之和。

2. 數值解析法

  當隨機變量較多時，直接求解失效概率值是很困難的，采用數值求解是一種比較好的解決方法。在應力腐蝕概率計算中，涉及的隨機變量較多且具有不同的分布類型，結果難以用解析法和近似法求解，可以采用蒙特卡洛（Monte-Carlo)模擬法。Monte-Carlo模擬法的特點是：①. 受研究問題維數的影響較小；②. 不受假設約束；③. 不存在狀態空間爆炸問題；④. 不受變量數量的影響。因此，Monte-Carlo法是一種處理高維動態失效概率問題的方法。

  蒙特卡洛模擬法又稱為隨機模擬法，基本思想是：